Você instala uma extensão de nova aba e uma barra cinza aparece embaixo da página, com o nome da extensão e um botão «Personalizar o Chrome». Ela não vem da extensão. Vem do Chrome, e sai com dois cliques.

Dois cliques e ela some
Na sua página de nova aba, clique em Personalizar o Chrome, à direita da barra. O painel que abre ao lado é o do Chrome, não o da extensão. Desça até a seção Rodapé e desligue a opção Mostrar rodapé na página “Nova guia”: é assim que o Chrome chama a nova aba.

É isso. A barra some na hora, em todas as abas, e não volta. Um clique com o botão direito na barra também oferece escondê-la.

De onde vem essa barra
O Chrome a coloca desde a versão 138, sob qualquer página de nova aba fornecida por uma extensão. É uma medida de transparência: o Chrome quer que você saiba qual extensão substituiu essa página, e quer deixar um caminho de volta para os próprios ajustes dele.
A intenção é boa, o resultado confunde: a barra carrega o nome da extensão, então muita gente acha que é ela que a mostra e procura o botão nos ajustes dela.
Por que nenhuma extensão consegue removê-la
Quem a desenha é o navegador, acima da página, fora do documento que a extensão controla. Nenhuma linha de código, nenhuma permissão, nenhuma interface de programação chega até lá. Isso é proposital, e é até saudável: uma extensão capaz de apagar o que o navegador diz sobre ela teria um poder que ninguém deveria conceder.
Se uma extensão promete fazê-la sumir, ela promete o que não pode cumprir. Nós apenas mostramos o caminho, nos ajustes do Hoome.
E no Firefox?
A pergunta não se coloca: o Firefox não põe nenhuma barra desse tipo sob a página de nova aba de uma extensão.
Com a barra fora do caminho, a página vai até embaixo da tela, e o plano de fundo junto. É aí que a escolha do plano de fundo faz diferença de verdade: mudar o plano de fundo do Chrome vira o ajuste que mais muda a página que você abre cinquenta vezes por dia.